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\title{期末考试模拟考试}
\author{2022级数学与应用数学1班}
%\date{}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\title{欧式期权平价公式练习题}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section*{题目：利用期权平价公式计算看跌期权价格}
\item %1
已知某欧式股票期权的相关信息如下：
\begin{itemize}
    \item 当前股票价格 $S_t = 50$ 元
    \item 期权剩余到期时间 $T - t = 0.5$ 年
    \item 无风险年利率 $r = 4\%$（连续复利）
    \item 行权价 $X = 52$ 元
    \item 对应的欧式看涨期权市场价格 $c_t = 2.50$ 元
\end{itemize}

\textbf{问题}：
\begin{enumerate}
    \item 写出欧式期权平价公式。
    \item 根据平价公式，计算该行权价和到期日对应的欧式看跌期权的理论价格 $p_t$。
    \item 若市场上该看跌期权的实际报价为 4.80 元，请问是否存在套利机会？如果存在，构造一个套利策略（说明在 $t$ 时刻的操作和 $T$ 时刻的收益）。
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}
{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
\item 

欧式看涨期权与看跌期权满足以下平价关系：
\[
S_t - c_t = X e^{-r(T-t)} - p_t, 
\]
其中
 $c_t$ 是欧式看涨期权价格，
 $p_t$ 是欧式看跌期权价格，
 $S_t$ 是当前股票价格，
 $X$ 是行权价，
 $r$ 是无风险利率（连续复利），
 $T - t$ 是剩余到期时间。

该公式的经济含义是：一个备兑看涨组合（持有一股股票并卖出一份看涨期权）与一个有担保的看跌期权空头组合（持有面值为 $X$ 的零息债券并卖出一份看跌期权）在到期日具有相同的现金流，因此在无套利市场中，它们的当前价值必须相等。

\item  

将已知参数代入平价公式：
\[
50 - 2.50 = 52 \cdot e^{-0.04 \times 0.5} - p_t,
\]
可得欧式看跌期权的理论价格为 $p_t = 3.470331$ 元。

\item  

市场上该看跌期权的实际报价为 4.80 元，而其理论价格为 3.47 元，说明看跌期权被高估。%由于实际 $p_t^{\text{market}} = 4.80 > 3.47 = p_t^{\text{theory}}$，
根据平价公式，存在套利机会。
%
在 $t$ 时刻执行以下操作（套利策略）：
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item 卖出（做空）一份市场价格被高估的看跌期权，获得权利金 4.80 元。
\item 买入（做多）一份看涨期权，支付权利金 2.50 元。
\item 卖出（做空）一股股票，获利 50 元。
\item 将剩余资金（$4.8-2.5+50 = 52.3$ 元）存入银行。
\end{enumerate}
    
该套利策略可以写为 $$p_t - c_t + S_t - X e^{-r(T-t)},$$ 
当前成本为 $4.80 -2.50 + 50 - 52e^{-0.02} = 1.329669$ 元。
该组合初始净流入 1.329669 元（即套利利润）。

在到期日 $T$ 时刻，无论股价如何，该组合的价值均为零：

\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item 
若 $S_T > X = 52$：
看涨期权行权，收益 $S_T - 52$, 
看跌期权作废, 
股票价值 $S_T$, 
需偿还借款 52 元, 
组合价值为 $(S_T - 52) + 0 - S_T + 52 = 0$. 

\item 
若 $S_T < X = 52$：
看涨期权作废, 
看跌期权被行权，需支付 $52 - S_T$, 
股票价值 $S_T$, 
需偿还借款 52 元, 
组合价值为 $0 - (52 - S_T) - S_T + 52 = 0$. 
\end{enumerate}

因此，在 $t$ 时刻获得 1.329669 元的无风险利润，
在 $T$ 时刻无任何现金流，构成套利。
该套利策略在 $T$ 时刻的收益为 $1.329669*e^{0.02} = 1.35653$ 元。
\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section*{题目：验证投资组合到期价值}

% 考虑以下两个投资组合，均基于同一标的股票和欧式期权：
% \begin{itemize}
%     \item 投资组合 $\Phi_1$：持有一股股票（价格 $S_t$），并卖出一份欧式看涨期权（权利金 $c_t$）。
%     \item 投资组合 $\Phi_2$：存入金额为 $X e^{-r(T-t)}$ 的无风险资产，并卖出一份欧式看跌期权（权利金 $p_t$）。
% \end{itemize}

% 假设在到期日 $T$，股票价格 $S_T$ 可能为 80 元、100 元或 120 元，行权价 $X = 100$ 元。

% \textbf{问题}：
% \begin{enumerate}
%     \item 写出每个组合在到期日 $T$ 的价值表达式。
%     \item 分别计算当 $S_T = 80, 100, 120$ 时，两个组合的价值。
%     \item 根据计算结果，验证两个组合在到期日是否具有相同的价值，并解释这与无套利原则的关系。
% \end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\title{二叉树期权定价模型练习题}
\newpage 

% \section*{题目：单步二叉树模型计算}
\item %2
设某股票当前价格 $S_0 = 100$ 元，年化波动率 $\sigma = 20\%$，无风险年利率 $r = 5\%$（连续复利）。考虑一个期限为6个月的欧式看涨期权，行权价 $K = 105$ 元。

\textbf{问题}：
\begin{enumerate}
    \item 使用二叉树模型，将期权期限划分为一步（$\Delta t = 0.5$ 年），计算上涨因子 $u$ 和下跌因子 $d$。
    \item 计算风险中性概率 $q$。
    \item 构建价格二叉树，并计算期权在到期日的可能 payoff。
    \item 使用倒推法计算该欧式看涨期权的当前理论价格。
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}
{\color{red}解答：
\begin{enumerate}

\item %(a). 计算上涨因子 $u$ 和下跌因子 $d$

在二叉树模型中，上涨因子 $u$ 和下跌因子 $d$ 由波动率 $\sigma$ 和时间步长 $\Delta t$ 决定。
% \[
% u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}, \quad d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}
% \]
已知 $\sigma = 0.2$, $\Delta t = 0.5$ 年，计算可得上涨因子与下跌因子分别为 
\begin{equation*}
\begin{aligned}
u &= e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} =  1.1519, \\ 
d &= e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} = 0.8681.
\end{aligned}
\end{equation*}

\item %(b). 计算风险中性概率 $q$

已知 $r = 0.05$, $\Delta t = 0.5$, $u,d$ 如上计算，代入风险中性（上涨）概率的公式可得
\[
q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d} = 0.5539.
\]

\item %(c). 构建价格二叉树并计算到期日 payoff

在当前时刻 $t=0$：股票价格 $S_0 = 100$; 
在到期时刻 $T=0.5$ 年：
\begin{itemize}
\item 上涨状态：$S_u = S_0 \times u = 115.1910$ 元，
\item 下跌状态：$S_d = S_0 \times d = 86.8123$ 元。
\end{itemize}
股票价格二叉树为：
\begin{center}
\tikz {
\node (a) at (0,0) {$S_0=100$};  
\node (b) at (4,0.5) {$S_T^u=115.1910$};  
\node (c) at (4,-0.5) {$S_T^d=86.8123$};  
\graph { (a) -- (b) };
\graph { (a) -- (c) };
}
\end{center}

欧式看涨期权的 payoff （到期收益）为 $\max(S_T - K, 0)$,
已知行权价为 $K = 105$, 所以
\begin{itemize}
\item 上涨状态：$C_T^u = \max(S_T^u-K, 0) = \max(10.1909, 0) = 10.1910$ 元，
\item 下跌状态：$C_T^d = \max(S_T^d-K, 0) = \max(-18.2123, 0) = 0$ 元。
\end{itemize}
期权价格二叉树为：
\begin{center}
\tikz {
\node (a1) at (0,0) {$C_0$};  
\node (b1) at (4,0.5) {$C_T^u=10.1910$};  
\node (c1) at (4,-0.5) {$C_T^d=0$};  
\graph { (a1) -- (b1) };
\graph { (a1) -- (c1) };
}
\end{center}


\item %(d). 使用倒推法计算期权当前理论价格
使用风险中性定价公式倒推的公式，
可得该欧式看涨期权的当前理论价格为
\begin{equation*}
\begin{aligned}
C_0 &= e^{-r \Delta t} \left[ q \cdot C_u + (1 - q) \cdot C_d \right] \\ 
&= e^{-0.025} \times \left[ 0.5539 \times 10.1910 + (1 - 0.5539) \times 0 \right] \\ 
&= 5.505.
\end{aligned}
\end{equation*}

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section*{题目：参数估计与风险中性概率}

% 某股票过去10个交易日的收盘价如下（单位：元）：
% \[
% S = \{98, 102, 100, 99, 103, 105, 102, 104, 106, 108\}
% \]
% 假设一年有252个交易日，无风险年利率 $r = 4\%$（连续复利）。

% \textbf{问题}：
% \begin{enumerate}
%     \item 计算每日对数收益率，并估计该股票的年化波动率 $\hat{\sigma}$。
%     \item 若使用二叉树模型对一个1个月后到期的期权进行定价（取 $\Delta t = 1/12$ 年），计算对应的上涨因子 $u$ 和下跌因子 $d$。
%     \item 计算风险中性上涨概率 $q$。
%     \item 解释：计算得到的 $q$ 是真实世界中股价上涨的概率吗？如果不是，它在期权定价中的作用是什么？
% \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 
\item %3 随机行走练习题

考虑一个从原点 $S_0 = 0$ 出发的一维简单对称随机行走。每一步，粒子以概率 $p = 0.5$ 向右移动 $+1$，以概率 $q = 0.5$ 向左移动 $-1$，且各步独立。

\textbf{问题}：
\begin{enumerate}
    \item 计算经过 $n = 100$ 步后，粒子位置 $S_{100}$ 的期望 $\mathbb{E}[S_{100}]$ 和方差 $\mathrm{Var}(S_{100})$。
    \item 求粒子在第100步后恰好回到原点（即 $S_{100} = 0$）的概率。请使用组合数学方法给出精确表达式并计算近似值。
    \item 若进行1000次独立的100步随机行走模拟，根据大数定律和中心极限定理，描述最终位置 $S_{100}$ 的经验分布的均值和方差应如何收敛。
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}
{\color{red}解答：
\begin{enumerate}

\item % (a)计算 $\mathbb{E}[S_{100}]$ 和 $\mathrm{Var}(S_{100})$

令 $X_i$ 表示第 $i$ 步的位移，则这个随机变量的分布律为
\[
X_i =
\begin{cases}
+1 & \text{概率 } 0.5, \\
-1 & \text{概率 } 0.5.
\end{cases}
\]

$n=100$ 步后的位置为
\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i.
\]

先计算单步的期望和方差，可得
\begin{equation*}
\begin{aligned}   
\mathbb{E}[X_i] &= (+1)(0.5) + (-1)(0.5) = 0, \\ 
\mathrm{Var}(X_i) &= \mathbb{E}[X_i^2] - (\mathbb{E}[X_i])^2 = (1^2 \cdot 0.5 + (-1)^2 \cdot 0.5) - 0^2 = 1 - 0 = 1.
\end{aligned}
\end{equation*}

由于各步独立，可得$n$步总和的期望和方差为
\begin{equation*}
\begin{aligned}   
\mathbb{E}[S_n] &= \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[X_i] = n \cdot 0 = 0, \\
\mathrm{Var}(S_n) &= \sum_{i=1}^{n} \mathrm{Var}(X_i) = n \cdot 1 = n.
\end{aligned}
\end{equation*}

代入 $n=100$, 可得 
\[
\mathbb{E}[S_{100}] = 0, \quad \mathrm{Var}(S_{100}) = 100. 
\]

\item %2. 求 $P(S_{100} = 0)$

粒子在 100 步后回到原点，可见恰好向右走 50 步，向左走 50 步，但是左右可以交错进行。因此这是二项分布的概率问题，
\[
P(S_{100} = 0) = P(\text{恰好 50 次 } +1) = \binom{100}{50} (0.5)^{50} (0.5)^{50} = \binom{100}{50} (0.5)^{100}.
\]

使用斯特林公式%（Stirling's approximation）进行近似：
\[
n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
\]

% \[
% \binom{100}{50} = \frac{100!}{50! 50!} \approx \frac{\sqrt{2\pi \cdot 100} (100/e)^{100}}{[\sqrt{2\pi \cdot 50} (50/e)^{50}]^2} = \frac{\sqrt{200\pi} \cdot 100^{100} / e^{100}}{2\pi \cdot 50 \cdot 50^{100} / e^{100}} = \frac{\sqrt{200\pi}}{2\pi \cdot 50} \cdot \left(\frac{100}{50}\right)^{100}
% \]

% 简化：
% \[
% = \frac{\sqrt{200\pi}}{100\pi} \cdot 2^{100} = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{\pi} \cdot 100} \cdot 2^{100} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi} \cdot 10} \cdot 2^{100}
% \]

可得简洁的近似公式
\[
\binom{2n}{n} \frac{1}{2^{2n}} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
\]

代入 $n=50$ 可得 
\[
P(S_{100} = 0) =\binom{100}{50} (0.5)^{100} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi \cdot 50}} \approx 0.079788.
\]

粒子在 100 步后回到原点的概率的精确表达式为 
$\binom{100}{50} (0.5)^{100}$. 
程序计算为 $0.079589$, 使用斯特林公式，近似值为 $0.079788$.

\item %3. 经验分布的收敛性

进行 1000 次独立的 100 步随机行走模拟，得到 1000 个最终位置 $S_{100}^{(1)}, S_{100}^{(2)}, \dots, S_{100}^{(1000)}$.

根据大数定律，样本均值依概率收敛于总体均值
\[
\bar{S}_{100} = \frac{1}{1000} \sum_{j=1}^{1000} S_{100}^{(j)} \xrightarrow{P} \mathbb{E}[S_{100}] = 0.
\]

因为步数 $n=100$ 足够大，所以根据中心极限定理，$S_{100}$ 近似服从正态分布
\[
S_{100} \xrightarrow{d} N(0, 100).
\]

因此，$S_{100}$ 的经验分布（1000 个随机数的直方图）将趋近于均值为 0、方差为 100 的正态分布。样本方差也将收敛于理论方差 100. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[height=10cm, width=14cm]{problem_3c.png}
\caption{随机行走第100步的位置的直方图、正态分布近似}
\end{figure}

而 $S_{100}$ 的 1000 个样本的均值 $\bar{S}_{100}$ 的分布近似为 $N(0,\frac{100}{1000})=N(0,0.1)$. 

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage 
\item %4 布朗运动练习题

设 $\{W_t\}_{t \geq 0}$ 是一个标准布朗运动（维纳过程），即 $W_0 = 0$，具有独立增量，且对任意 $t >s$，有 $W_t-W_s \sim N(0, t-s)$.

\textbf{问题}：
\begin{enumerate}
    \item 计算 $W_1$ 大于1的概率，即 $P(W_1 > 1)$. 
    \item 已知在时间 $t=2$ 时，$W_2 = 1.5$，求条件概率 $P(W_3 > 2 \mid W_2 = 1.5)$. 
    \item 设 $X_t = W_t + \mu t$ 为带漂移的布朗运动。若 $\mu = 0.3$，计算 $X_4$ 的分布，并求 $P(X_4 > 2)$. 
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}
{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
\item %1. 计算 $P(W_1 > 1)$

由定义，$W_1 \sim N(0, 1)$，即标准正态分布，因此
\[
P(W_1 > 1) = 1 - P(W_1 \leq 1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587.
\]
其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数。


\item %2. 计算 $P(W_3 > 2 \mid W_2 = 1.5)$

利用布朗运动的独立增量性质。
已知 $W_2 = 1.5$，我们关注的是从 $t=2$ 到 $t=3$ 的增量。
令 $Z = W_3 - W_2$，则 $Z \sim N(0, 3-2) = N(0, 1)$，且 $Z$ 独立于 $W_2$. 
因此条件概率为
\[
P(W_3 > 2 \mid W_2 = 1.5) = P(Z > 0.5) = 1 - \Phi(0.5) = 0.3085.
\]

\item %3. 带漂移布朗运动 $X_t = W_t + \mu t$

给定 $\mu = 0.3$，则 $X_t = W_t + 0.3t$. 
%\subsubsection{计算 $X_4$ 的分布}
在 $t=4$ 时，
\[
X_4 = W_4 + 0.3 \times 4 = W_4 + 1.2. 
\]
因为 $W_4 \sim N(0, 4)$，所以
\[
X_4 \sim N(1.2, 4),
\]
即均值为 1.2，方差为 4（标准差为 2）的正态分布。

%\subsubsection{计算 $P(X_4 > 2)$}

为求概率，将该正态分布标准化，可得
\[
P(X_4 > 2) = P\left( \frac{X_4 - 1.2}{2} > \frac{2 - 1.2}{2} \right) = P\left( Z > 0.4 \right) = 1- \Phi(0.4) = 0.3446. 
\]
其中 $Z \sim N(0,1)$. 

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\title{几何布朗运动、BS公式与蒙特卡洛方法练习题}

% \section*{题目1：几何布朗运动的应用（基于专题实验6）}
\newpage 

\item  %5

假设某股票遵循几何布朗运动，其当前价格为 $S_0 = 100$ 元，年化预期回报率为 $\mu = 12\%$，年化波动率为 $\sigma = 30\%$。考虑一个欧式看涨期权，行权价为 $K = 105$ 元，到期时间为 $T = 1$ 年。

\textbf{问题}：
\begin{enumerate}
    \item 写出该股票价格 $S_t$ 的随机微分方程。
    \item 使用给定参数，计算一年后股票价格的期望值 $\mathbb{E}[S_T]$ 和标准差 $\mathrm{Std}(S_T)$.
    \item 模拟该股票价格在一年内的路径，并绘制一条样本路径图，写出编程步骤。
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}
{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
\item % (a) 写出该股票价格 $S_t$ 的随机微分方程。
几何布朗运动的随机微分方程为
\[
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t
\]
其中 
$S_t$ 是时间 $t$ 的股票价格，
$\mu = 12\% = 0.12$ 是年化预期回报率（漂移率），
$\sigma = 30\% = 0.3$ 是年化波动率，
$W_t$ 是标准布朗运动。

该方程表示股票价格的瞬时收益率服从正态分布，且波动与当前股价成正比。

\item %(b) 使用给定参数，计算一年后股票价格的期望值 $\mathbb{E}[S_T]$ 和标准差 $\mathrm{Std}(S_T)$.

对于几何布朗运动，股票价格 $S_T$ 在时间 $T$ 服从对数正态分布：
\[
S_T = S_0 \exp\left[ \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T \right]
\]

已知 
$S_0 = 100$, 
$\mu = 0.12$, 
$\sigma = 0.3$, 
$T = 1$, 
$W_T \sim N(0, T) = N(0, 1)$. 

根据对数正态分布的期望的公式，代入参数值，计算可得
\[
\mathbb{E}[S_T] = S_0 \exp(\mu T) = 100 \times \exp(0.12 \times 1) = 112.75. 
\] 

根据对数正态分布的方差的公式，代入参数值，计算可得
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\mathrm{Var}(S_T) &= S_0^2 \exp(2\mu T) \left( \exp(\sigma^2 T) - 1 \right)  \\ 
&= 100^2 \times \exp(2 \times 0.12 \times 1) \times \left( \exp(0.3^2 \times 1) - 1 \right) = 1197.19. 
\end{aligned}
\end{equation*}

标准差为 
\[
\mathrm{Std}(S_T) = \sqrt{\mathrm{Var}(S_T)} = \sqrt{1197.5} = 34.60. 
\]

因此，一年后股票价格的期望值约为 112.75 元，标准差约为 34.60 元。


\item %(c) 模拟该股票价格在一年内的路径，并绘制一条样本路径图，写出编程步骤。
下述程序将生成几何布朗运动的一条样本路径，模拟股价在一年内的随机波动情况。

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 将一年划分为 252 个交易日，这是金融模拟中的常见做法。
\item 使用 np.random.normal 生成布朗运动的增量 $dW_t \sim N(0, \sqrt{dt})$. 
\item 根据几何布朗运动的解析解公式计算股价路径。
\item 使用 matplotlib 绘制股价随时间的变化。
\end{enumerate}

% \begin{figure}[ht]
% \centering
% \includegraphics[height=8cm, width=12cm]{problem_5c.png}
% \caption{几何布朗运动的一条样本路径}
% \end{figure}


\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \section*{题目2：Black-Scholes公式的应用（基于专题实验7）}
\newpage 

\item %6 

已知某股票的当前价格为 $S = 90$ 元，执行价 $K = 95$ 元，无风险利率 $r = 6\%$（年化），波动率 $\sigma = 25\%$，到期时间 $T - t = 0.5$ 年。

\textbf{问题}：
\begin{enumerate}
    \item 根据 Black-Scholes 公式，计算欧式看跌期权的价格 $P(S, t)$。
    \item 验证看涨-看跌平价关系：$C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$ 是否成立，其中 $C$ 是对应看涨期权的价格。
    \item 若波动率提高到 $\sigma = 35\%$，重新计算看跌期权价格，并解释波动率对期权价值的影响。
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}
{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
\item % 1. 根据 Black-Scholes 公式，计算欧式看跌期权的价格 $P(S, t)$。
看跌期权定价的 Black-Scholes 公式为
\[
P(S,t) = K e^{-r(T-t)} \Phi(-d_2) - S \Phi(-d_1),
\]
其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数，以及
\[
d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t}. 
\]

代入已知参数：
股票价格 $S = 90$, 
执行价 $K = 95$, 
无风险利率 $r = 6\% = 0.06$, 
波动率 $\sigma = 25\% = 0.25$, 
到期时间 $T - t = 0.5$ 年。
编程计算可得欧式看跌期权价格约为 $$P = 7.5715.$$

%---------------------------------------------------

\item  %验证看涨-看跌平价关系：$C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$ 是否成立，其中 $C$ 是对应看涨期权的价格。

看涨-看跌平价关系为 $C - P = S - K e^{-r(T-t)}$. 
使用看涨期权定价的 Black-Scholes 公式
\[
C(S,t) = S \Phi(d_1) - K e^{-r(T-t)} \Phi(d_2) 
\]
程序计算可得 $C= 5.3791$, 因此计算平价关系左右两端，可得 
\begin{equation*}
\begin{aligned}
C - P &= 5.3791 - 7.5715 = -2.1924, \\ 
S - K e^{-r(T-t)} &= -2.1923.
\end{aligned}
\end{equation*}
两者近似相等（舍入误差导致微小差异），因此看涨-看跌平价关系成立。

\item %若波动率提高到 $\sigma = 35\%$，重新计算看跌期权价格，并解释波动率对期权价值的影响。

设新波动率为 $\sigma = 0.35$, 代入计算可得看跌期权价格约为 $$P = 10.1096.$$

当波动率 $\sigma$ 增加，看跌期权价格上升。
这是因为更高的波动率意味着股票价格在到期时大幅上涨或下跌的可能性都增加。
对于看跌期权，虽然大幅上涨对期权不利，但大幅下跌会带来更高的收益。

\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section*{题目3：蒙特卡洛方法定价欧式期权（基于专题实验8）}
\newpage 
\item %7

设有一个无股息支付的欧式看涨期权，其标的资产当前价格为 $S_0 = 100$ 元，执行价 $K = 100$ 元，无风险年利率 $r = 5\%$，波动率 $\sigma = 20\%$，到期时间 $T = 1$ 年。设股票价格服从几何布朗运动。

\textbf{问题}：
\begin{enumerate}
\item 使用蒙特卡洛方法模拟1000次该期权的到期价格路径，并估计期权价格 $C_{MC}$. 
\item 计算标准蒙特卡洛估计的相对误差，即 $$\frac{|C_{MC} - C_{BS}|}{C_{BS}},$$ 其中 $C_{BS}$ 是使用 Black-Scholes 公式计算得到的理论价格。
\item 引入控制变量法，选择股票价格作为控制变量，重新估计期权价格 $C_{CV}$, 并比较两种方法的估计结果及方差。
\item 分析引入控制变量法后，期权价格估计的精度和效率有何变化。
\end{enumerate}

%-----------------------------------------------------------
\vspace{0.2cm}
{\color{red}解答：
\begin{enumerate}
\item %使用蒙特卡洛方法模拟1000次该期权的到期价格路径，并估计期权价格 $C_{MC}$. 

因为股票价格 $\{S_t,0\le t\le T\}$ 服从几何布朗运动，所以在到期时 $S_T$ 满足
\[
S_T = S_0 \exp\left( \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma \sqrt{T} Z \right), \quad Z \sim N(0,1).
\]

欧式看涨期权到期收益为 $V_T = \max(S_T - K, 0)$，蒙特卡洛模拟的期权当前价格为
\[
C_{MC} = e^{-rT} \cdot \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}V_{T,i}, \quad 
V_{T,i} = \max(S_{T,i}-K,0), 
\]
其中 $S_{T,i}$ 是第 $i$ 次模拟路径的到期股票价格。
根据给定参数 $S_0 = 100$, $K = 100$, $r = 0.05$, $\sigma = 0.2$, $T = 1$, 
以及模拟次数 $N=1000$, 编程可得（不同随机数得到不同结果）
\[
C_{MC} = 10.6777.
\]

\item %计算标准蒙特卡洛估计的相对误差，即 $$\frac{|C_{MC} - C_{BS}|}{C_{BS}},$$ 其中 $C_{BS}$ 是使用 Black-Scholes 公式计算得到的理论价格。

看涨期权定价的 Black-Scholes 公式为
\[
C(S,t) = S \Phi(d_1) - K e^{-r(T-t)} \Phi(d_2),
\]
其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数，以及
\[
d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t}. 
\]

使用该公式，代入给定参数，编程计算可得理论价格为 
\[
C_{BS} = 10.4506.
\]
然后计算相对误差
\[
\frac{|C_{MC} - C_{BS}|}{C_{BS}} = 0.0217.
\]

\item %引入控制变量法，选择股票价格作为控制变量，重新估计期权价格 $C_{CV}$, 并比较两种方法的估计结果及方差。

控制变量法利用已知期望的变量（如股票价格 $S_T$, 假设服从几何布朗运动）来减少方差。到期时股票价格的期望为
\[
\mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{rT}
\]
是已知的。根据控制变量法，修正后的期权价格估计为
\[
C_{CV} = C_{MC} - \alpha (S_T^{\text{sim}} - \mathbb{E}[S_T]),
\]
其中 
\[
S_T^{\text{sim}} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^{N}S_{T,i} 
\]
是到期股票价格的模拟平均值，
\[
\alpha = \frac{\text{cov}(S_T,V_T)}{\text{Var}(S_T)}
\]
是控制变量 $S_T$ 与目标变量 $V_T$ 的协方差与控制变量 $S_T$ 的方差的比例。

编程计算可得 $\alpha=0.6937$, 当前期权价格为
\[
C_{CV} = 10.4498. 
\]
相对误差为
\[
\frac{|C_{CV} - C_{BS}|}{C_{BS}} = 0.0001.
\]


\item %分析引入控制变量法后，期权价格估计的精度和效率有何变化。

每次模拟使用1000条价格路径计算蒙特卡洛（MC）和控制变量法（CV）的期权价格估计。
重复500次模拟，生成两种方法的期权价格估计的分布，绘制直方图进行直观比较。

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[height=6cm, width=12cm]{problem_7d.png}
\caption{控制变量法可以有效缩减估计量的方差}
\end{figure}

% 结果显示：
% Black-Scholes 理论价格: 10.450584
% 标准 MC 估计均值: 10.441324, 标准差: 0.469196
% 控制变量法估计均值: 10.448408, 标准差: 0.172207
% 方差缩减比例: 86.53%

\begin{table}[ht]
\centering
\caption{两种方法的比较}\vspace{0.2cm}
\begin{tabular}{|p{6.0cm}|p{2.5cm}|p{2.5cm}|}\hline
方法 & 均值 & 标准差 \\ \hline
方法一：标准 MC 估计 & 10.441324 & 0.469196 \\ \hline
方法二：控制变量法 MC 估计 & 10.448408 & 0.172207 \\ \hline
基准：Black-Scholes 理论价格 & 10.450584 & \\ \hline
方差缩减比例 & & 86.53\% \\ \hline
\end{tabular}
\label{tab:comparison}
\end{table}

因此引入控制变量法后，期权价格估计更接近理论值。
而且，估计的方差显著降低，意味着在相同模拟次数下，控制变量法提供了更高精度和更高效率的估计。


\end{enumerate}

}

\vspace{0.2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate}

%请注意，在实际应用中，您需要编写相应的Python或其他编程语言的代码来实现这些计算和模拟。上述Latex文档仅提供了问题描述和解答框架。


\end{document}
